Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como la física teórica) son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia es conocimiento público y, por tanto, incluye a las matemáticas.24
En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos
campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las
consecuencias lógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias. Las matemáticas experimentales
siguen ganando representación dentro de las matemáticas. El cálculo y
simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias
como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas se
sirven del método científico. En 2002 Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.
Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como "la reina de las ciencias".21 Tanto en el latín original Scientiarum Regina, así como en alemán Königin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos matemáticas puras, no son una ciencia.
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falseables, y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper.22 No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora".23 Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falseables, y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl Popper.22 No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora".23 Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.
El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.19
El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo:
los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton
los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de
las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento
de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX.
Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante
demostraciones asistidas por ordenador.20
Un axioma se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.
Un axioma se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.
La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII.18
Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso
proceso que limita el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler,
fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad.
La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para
los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La
notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos
contengan una gran cantidad de información. Al igual que la notación musical,
la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica
la información que sería difícil de escribir de otra manera.
El símbolo de infinito en diferentes tipografías.
El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como o y sólo tiene significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras como abierto y cuerpo tienen significados matemáticos muy concretos. La jerga matemática, o lenguaje matemático, incluye términos técnicos como homeomorfismo o integrabilidad.
La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es
que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje
cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y
en la lógica como
Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que
prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las
matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca estética y su belleza interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en un elegante análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy en A Mathematician's Apology
(Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas
consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar
el estudio de las matemáticas puras.15
Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar
demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el
excéntrico matemático Paul Erdős se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.16 17 La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los
conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de
las matemáticas. Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas.
La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se
centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se
realiza cuando comienzan su licenciatura.
Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras
áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en
disciplinas independientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.
Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban
inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin
embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta
resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos
matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la
matemática más pura habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner ha definido como la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales.14
Es muy posible que el arte del cálculo haya sido desarrollado antes incluso que la escritura,12 relacionado fundamentalmente con la contabilidad y la administración de bienes, el comercio, en la agrimensura y, posteriormente, en la astronomía.
Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman propuso la integral de caminos como fundamento de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física, pero todavía no se ha logrado una definición plenamente satisfactoria en términos matemáticos. Similarmente, la teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.13
Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman propuso la integral de caminos como fundamento de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física, pero todavía no se ha logrado una definición plenamente satisfactoria en términos matemáticos. Similarmente, la teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.13
La palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (musiké)
«lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a
poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a
las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido
instruido en las mismas (astronomía, aritmética).9 Aunque el término ya era usado por los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós),
"relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a
significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa "el arte matemática".
La forma más usada es el plural matemáticas, que tiene el mismo significado que el singular5 y viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas". Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de Bourbaki, en el tratado Élements de mathématique (Elementos de matemática), (1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática moderna, aunque también hace uso de la forma plural como en Éléments d'histoire des mathématiques (Elementos de historia de las matemáticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificación de las matemáticas.10 Así mismo, en el escrito L'Architecture des mathématiques (1948) plantea el tema en la sección "Matemáticas, singular o plural" donde defiende la unicidad conceptual de las matemáticas aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito.11 Es importante señalar también que Bourbaki no hace referencia a una sola persona, sino que en realidad consistía de un colectivo de diferentes matemáticos escribiendo bajo un pseudónimo.
La forma más usada es el plural matemáticas, que tiene el mismo significado que el singular5 y viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas". Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de Bourbaki, en el tratado Élements de mathématique (Elementos de matemática), (1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática moderna, aunque también hace uso de la forma plural como en Éléments d'histoire des mathématiques (Elementos de historia de las matemáticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificación de las matemáticas.10 Así mismo, en el escrito L'Architecture des mathématiques (1948) plantea el tema en la sección "Matemáticas, singular o plural" donde defiende la unicidad conceptual de las matemáticas aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito.11 Es importante señalar también que Bourbaki no hace referencia a una sola persona, sino que en realidad consistía de un colectivo de diferentes matemáticos escribiendo bajo un pseudónimo.
Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una
herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas,
rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos
matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos
descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de
nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras,
sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las
aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas
con el paso del tiempo.8
Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".6 Por otro lado, Albert Einstein
declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la
realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la
realidad".7
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.
Las matemáticas o matemática (del lat. mathematĭca, y este del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones,2 3 formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.4 Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades,5
aunque sólo una parte de las matemáticas actuales usan números,
predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no
cuantitativas.
- Giorgi, A. & Longobardi, G. (1991) The syntax of noun phrases, Cambridge University Press, England.
- Moro, A. (1997) The raising of predicates. Predicative noun phrases and the theory of clause structure, Cambridge University Press, England.
- Huddleston, Rodney D., Pullum, Geoffrey K., et al. (2002). The Cambridge Grammar of the English Language, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43146-8
Noun phrases are prototypically used for acts of reference as in "The blonde girl shouts" or "She kissed the man". Also possible, but found less often, is the use of noun phrases for predication, as in "Suzy is a blonde girl". Note that in English the use of the copula is
indicates the use of a noun phrase as predicate, but other languages
may not require the use of the copula. Finally, noun phrases are used
for identifications like "The murderer was the butler", where no ascription is taking place. The possibility for a noun phrase to play the role of subject and predicate leads to the constructions of syllogisms.[citation needed]
See also
Noun phrases normally consist of a head noun, which is optionally
modified ("premodified" if the modifier appears before the noun;
"postmodified" if the modifier follows the noun). Possible modifiers
include:
The head of a noun phrase can be implied, as in "The Bold and the Beautiful" or Robin Hood's "rob from the rich and give to the poor"; an implied noun phrase is most commonly used as a generic plural referring to human beings.[3] Another example of noun phrase with implied head is I choose the cheaper of the two.[citation needed]
That noun phrases can be headed by elements other than nouns—for instance, pronouns (They came) or determiners (I'll take these)—has given rise to the postulation of a determiner phrase instead of a noun phrase. The English language is stricter than some other languages with regard to possible noun phrase heads. German, for instance, allows adjectives as heads of noun phrases[citation needed], as in Gib mir die Alten for Give me the olds (i.e. old ones).[citation needed] The Scandinavian languages can do the same, as in Swedish: Ge mig de gamla for Give me the old (ones).
- determiners: articles (the, a), demonstratives (this, that), numerals (two, five, etc.), possessives (my, their, etc.), and quantifiers (some, many, etc.). In English, determiners are usually placed before the noun;
- adjectives (the red ball); or
- complements, in the form of a prepositional phrase (such as: the student of physics), or a That-clause (the claim that the earth is round);
- modifiers; pre-modifiers if before the noun and usually either as nouns (the university student) or adjectives (the beautiful lady), or post-modifiers if after the noun. In English a postmodifier may be either a prepositional phrase (the man with long hair) or a relative clause (the house where I live). The difference between modifiers and complements is that complements complete the meaning of the noun; complements are necessary, whereas modifiers are optional because they add information about the noun.
The head of a noun phrase can be implied, as in "The Bold and the Beautiful" or Robin Hood's "rob from the rich and give to the poor"; an implied noun phrase is most commonly used as a generic plural referring to human beings.[3] Another example of noun phrase with implied head is I choose the cheaper of the two.[citation needed]
That noun phrases can be headed by elements other than nouns—for instance, pronouns (They came) or determiners (I'll take these)—has given rise to the postulation of a determiner phrase instead of a noun phrase. The English language is stricter than some other languages with regard to possible noun phrase heads. German, for instance, allows adjectives as heads of noun phrases[citation needed], as in Gib mir die Alten for Give me the olds (i.e. old ones).[citation needed] The Scandinavian languages can do the same, as in Swedish: Ge mig de gamla for Give me the old (ones).
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